Test Latex - XnneHang's Blog

差点忘记是为了啥来的。我最开始从 NBlog 迁移博客到这里就是因为 NBlog 不支持 Latex 。迁移过程中我总是阿巴阿巴感觉这个博客很漂亮，结果迁移完后反而忘记了我最开始要干啥了！

a+b

\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}= \frac{ad \pm bc}{bd}

\sqrt{a^2+b^2}

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x= \arcsin x +C \int \frac{1}{1+x^{2}}\mathrm{d}x= \arctan x +C

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\     a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

\left | a-b \right | \geqslant \left | a \right | -\left | b \right |

Q = I ^ { 2 } R \mathrm { t }

\Delta A B C

\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)

\sum_{i=1}^{n}{X_i}

\sum_{i = 1}^{n}{X_i} C_{r}^{n}

\begin{array}{c} \text{若}\left \{a_{n}\right \}、\left \{b_{n}\right \}\text{为等差数列}, \\ \text{则}\left \{a_{n}+ b_{n}\right \}\text{为等差数列}   \end{array}

\text{sin}^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1- \text{cos}\alpha}{2}

几乎完美的 Latex 兼容。

用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最解、无穷多最优解、无界解还是无可行解? $\left.\left(1\right)\max z=x_{1}+3x_{2}\\\left\{\begin{array}{l}5x_{1}+10x_{2}\leqslant50\\x_{1}+x_{2}\geqslant1\\x_{2}\leqslant4\\x_{1},x_{2}\geqslant0\end{array}\right.\right.$
$\begin{aligned}&\left(3\right)\max z=2x_{1}+2x_{2}\\&\left.\left\{\begin{array}{c}x_{1}-x_{2}\geqslant-1\\-0.5x_{1}+x_{2}\leqslant2\\x_{1},x_{2}\geqslant0\end{array}\right.\right.\end{aligned}$

(1)

\max z=x_{1}+3x_{2}

\text{s.t. } 5x_{1}+10x_{2}\leqslant50 \quad (\text{L1})

x_{1}+x_{2}\geqslant1 \quad (\text{L2})

x_{2}\leqslant4 \quad (\text{L3})

x_{1},x_{2}\geqslant0

\text{s.t. } 5x_{1}+10x_{2}\leqslant50 \quad (\text{L1})

当 $x_{1}=0$ 时， $2x_{2}=10 \implies x_{2}=5$ 。得到点 $(0,5)$ 。当 $x_{2}=0$ 时， $x_{1}=10$ 。得到点 $(10,0)$ 。连接 $(0,5)$ 和 $(10,0)$ 得到直线 L1。可行域在直线的左下方。

x_{1}+x_{2}\geqslant1 \quad (\text{L2})

当 $x_{1} = 0$ 时, $x_{2} = 1$ 。得到点 $(0,1)$ 。当 $x_{2} = 0$ 时, $x_{1} = 1$ 。得到点 $(1,0)$ 。连接 $(0,1)$ 和 $(1,0)$ 得到直线 L2。可行域在直线的右上方。

x_{2}\leqslant4 \quad (\text{L3})

可行域在直线的下方。

x_{1},x_{2}\geqslant0

可行域在第一象限

·顶点 A: $x_1$ 轴与 L2 的交点。当 $x_2=0$ 时，由 $x_1+x_2=1\Longrightarrow x_1=1.$ 所以 A=(1,0)。 ·顶点 B: $x_1$ 轴与 L1 的交点。当 $x_2=0$ 时，由 $5x_1+10x_2=50\implies5x_1=50\implies x_1=10.$
所以 B=(10,0)。 ·顶点 C:L1与 L3 的交点。由 $x_{2}=4$ 代入 $5x_1+ 10x_2= 50\Longrightarrow 5x_1+ 40= 50$ $\Longrightarrow 5x_1=10\implies x_{1}=2.$ 所以 C= $(2,4)_{\circ}$
·顶点D： $x_{2}$ 轴与L3 的交点。当 $x_1=0$ 时，由 $x_{2}=4.$ 所以 D=(0,4)。 ·顶点E： $x_2$ 轴与 L2 的交点。当 $x_1=0$ 时，由 $x_1+x_2=1\Longrightarrow x_2=1$ .所以 E=(0,1)。

可行域的顶点是：A(1,0), B(10,0), C(2,4), D(0,4), E(0,1)。

计算目标函数在每个顶点的值

目标函数 $z=x_1+3x_{2\circ}$

\cdot

A( 1, 0) {: }z= 1+ 3( 0) = 1

\cdot

B( 10, 0) {: }z= 10+ 3( 0) = 10

\cdot

C( 2, 4) {: } z= 2+ 3( 4) = 2+ 12= 14

\cdot

D( 0, 4) {: }z= 0+ 3( 4) = 12

\cdot

E( 0, 1) {: }z= 0+ 3( 1) = 3

最大值为 14,在顶点 $\mathfrak{C}(2,4)$ 处取得。因此，该线性规划问题的最优解为 $\mathbf{x}_1=2,\mathbf{x}_2=4$ ,最大目标函数值为 $\mathbf{z}=14_{\circ}$ 由于只有一个顶点使得目标函数达到最大值，所以问题具有唯一最优解。

(3)

\max z=2x_{1}+2x_{2}

\text{s.t. } x_{1}-x_{2}\geqslant-1 \quad (\text{L1})

-0.5x_{1}+x_{2}\leqslant2 \quad (\text{L2})

x_{1},x_{2}\geqslant0

a+b

\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}= \frac{ad \pm bc}{bd}

\sqrt{a^2+b^2}

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x= \arcsin x +C \int \frac{1}{1+x^{2}}\mathrm{d}x= \arctan x +C

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\     a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

\left | a-b \right | \geqslant \left | a \right | -\left | b \right |

Q = I ^ { 2 } R \mathrm { t }

\Delta A B C

\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)

\sum_{i=1}^{n}{X_i}

\sum_{i = 1}^{n}{X_i} C_{r}^{n}

\begin{array}{c} \text{若}\left \{a_{n}\right \}、\left \{b_{n}\right \}\text{为等差数列}, \\ \text{则}\left \{a_{n}+ b_{n}\right \}\text{为等差数列}   \end{array}

\text{sin}^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1- \text{cos}\alpha}{2}